Hoy os traigo una entrada un poco matemática, pero he intentado explicar los conceptos de la forma más amena posible.La probabilidad de robar una carta concreta de un mazo, ya sea en Juego de Tronos o en StripPoker, sigue una ley de distribución llamada “hipergeométrica”. He encontrado por la red un simulador de la distribución hipergeométrica que nos puede ayudar a calcular con rapidez qué probabilidades tenemos de robar una carta determinada. Personalmente no soy ningún experto en probabilidad, aunque sí tengo algunos conocimientos académicos sobre el tema, y os puedo asegurar que aunque el nombre de “hipergeométrica” suene algo rimbombante en realidad no estamos tratando con conceptos demasiado complejos de probabilidad, y creo que es interesante tratar un poco este tema para hacernos una idea de qué probabilidades concretas tenemos de robar tal o cual carta. Quizá esto nos pueda ayudar a tomar algunas decisiones durante el juego con un poco más de seguridad y confianza. Igualmente no intentaré tratar demasiados aspectos teóricos, sino algo más bien práctico que nos pueda ayudar a hacer algunos cálculos básicos.
Enter Size of Space = Cartas
que nos quedan en el mazo
Enter number of desirables =
Número de copias de la carta que nos interesa robar que quedan en el mazo
Enter number of undesirables
= Esto lo podéis ignorar, porque solo hace falta introducir la variable
anterior o ésta, no ambas. Corresponde al número de copias que quedan en el
mazo de las cartas que NO queremos robar.
Sample Size = Número de
cartas que robaremos del mazo en la simulación.
Start y Stop = Estas opciones también se pueden obviar y
dejar en blanco.
Hay que tener en cuenta que
la base conceptual de esta distribución es que se roban cartas sin devolverlas
al mazo. Para hacer cálculos donde intervenga el mulligan, por ejemplo, habrá
que hacer algunos ajustes, ya que se reintroducen cartas en el mazo y se vuelve
a robar. No entraré en detalles de probabilidad y estadística, pero en este
caso el modelo hipergeométrico no puede aplicarse directamente.
El simulador sí nos sirve, no
obstante, para hacernos una idea de qué probabilidades tenemos de robar una
carta determinada cuando jugamos una, dos o tres copias de ella. Es algo que
intuitivamente ya podemos suponer, pero creo que siempre está bien conocer un
poco más a fondo el juego. Las típicas tablas de póquer de probabilidades de robo
que se memorizan algunos jugadores están calculadas también en base a una
distribución hipergeométrica.
Os pongo a continuación algunos ejemplos de pruebas que se pueden hacer con el simulador. Sólo hace falta que os miréis los primeros para entender cómo funciona. Los últimos cada vez son más rebuscados y quizá se haga un poco pesado de leer y un poco paliza.
Os pongo a continuación algunos ejemplos de pruebas que se pueden hacer con el simulador. Sólo hace falta que os miréis los primeros para entender cómo funciona. Los últimos cada vez son más rebuscados y quizá se haga un poco pesado de leer y un poco paliza.
Ejemplo de simulación 1:
Quiero saber qué
probabilidades tengo de robar Festín de las Crías en mi primera fase de robo,
ya que tras el setup y el relleno de la mano inicial no me ha tocado. Es útil
conocer este dato porque puede ayudarme a decidir con qué trama quiero abrir a
partida. Si la probabilidad es alta quizá me arriesgue a abrir directamente con
Amenaza del Norte.
Mi mazo tiene un setup medio
de 4 cartas. Así que tras robar la mano inicial, hacer setup y rellenar hasta
volver a tener 7 cartas habré robado un total de 11 cartas (7+4), con lo que me
quedarán 49 cartas en el mazo (60-11, ya que juego un mazo mínimo de 60
cartas). Juego 3 copias de Festín de las Crías y robaré 2 cartas en la fase de
robo.
Enter Size of Space = 49 (me
quedan 49 cartas en el mazo)
Enter number of desirables =
3 (juego tres copias de Festín)
Sample Size = 2 (robaré dos
cartas en fase de robo)
Es decir, hay un 88% de
probabilidad de que no robe ningún Festín, y solo un 12% de que lo consiga (0.1173
de robar una copia + 0.0025 de robar dos copias = 0.1198 = 0.12 aprox.). Con esto
se confirma que es muy mala idea tirarse a la piscina confiando robar una carta
de la que solo llevamos 3 copias.
Ejemplo de simulación 2:
Por otro lado, si el Festín
lo tengo en mano, pero no tengo nada de influencia podemos hacer otro tipo de
cálculo. Si abro la partida con A las Puertas y me busco Consejero de la
Corona, puedo estimar qué probabilidad tengo de encontrar el tercer punto de
influencia que me faltará para jugar el Festín.
Como mi mazo juega 2 Consejeros más, 3 Feudos Orientales, 2 Mar del Verano, 2 Fortaleza Roja y 1 Tienda de Khal Drogo, tengo 11 cartas posibles que me proporcionarían el punto que me falta.
Como mi mazo juega 2 Consejeros más, 3 Feudos Orientales, 2 Mar del Verano, 2 Fortaleza Roja y 1 Tienda de Khal Drogo, tengo 11 cartas posibles que me proporcionarían el punto que me falta.
Enter Size of Space = 48 (El
A las Puertas me habrá vaciado el mazo en una carta, pasando a 48)
Enter number of desirables =
10 (Además del Consejero que me busco con A las Puertas, llevo otras 10 cartas
que me proporcionan influencia)
Sample Size = 2 (Robo 2
cartas en la primera ronda)
Resultado simulación 2:
El simulador nos da una
probabilidad del 37.68% de robar ese tercer punto de influencia y poder jugar el
Festín en esa misma ronda (0.3369 + 0.0399 = 0.3768).
O lo que es lo mismo, tengo 62.32%
de probabilidad de no ver ningún punto de influencia. Tened en cuenta que la
probabilidad de robar una carta determinada
es igual a “1 – probabilidad de no robar esa carta”, 1 – 6232 = 0.3768.
Ejemplo de simulación 3:
Si, por el contrario, lo que
me interesa no es saber si podré jugar el Festín en la ronda uno, sino si podré
jugarlo en la ronda dos, junto a una Amenaza del Norte para machacar al rival,
entonces puedo llevar a cabo la simulación suponiendo que habré robado 4
cartas, dos en la primera ronda y dos más en la segunda.
Enter Size of Space = 48
Enter number of desirables = 10
Sample Size = 4 (Robo dos
cartas en la primera ronda y dos más en la segunda)
Resultado simulación 3:
La probabilidad de reunir los
tres puntos de influencia en la segunda ronda es del 62.07% ( 1 – 0.3793 = 0.6207).
Ejemplo de simulación 4:
Si además me lo monto para
robar una carta adicional, ya sea porque hago verano en la primera ronda y robo
por Reyes del Verano, o porque puedo jugar a Jhogo o Meraxes, la situación es
la siguiente:
Enter Size of Space = 48
Enter number of desirables =
10
Sample Size = 5 (Las cuatro
de antes más una adicional que consigo robar fuera de la fase de robo)
Resultado simulación 4:
En este caso la probabilidad de reunir los tres puntos de influencia en la segunda ronda es de 70.69% (1 – 0.2931 = 0.7069).
Este es solo un ejemplo del
tipo de pruebas que podemos hacer con el simulador. Hemos averiguado que si tengo
un Festín de las Crías de mano inicial podré
jugarlo en la segunda ronda con un 60-70% de probabilidad de haber reunido los
tres puntos de influencia necesarios. Nada mal, creo yo. Conocer este tipo de
probabilidades pueden darnos bastante seguridad en el momento de decidir qué
plan de juego seguir o qué trama revelar.
Probabilidad y Mulligan
Ejemplo de simulación 5:
A veces es interesante saber
qué probabilidad tengo de robar una carta determinada al empezar la partida si
estoy dispuesto a hacer mulligan para encontrarla. Por ejemplo, puedo querer
empezar el juego con un Precio de la Guerra frente a un Lannister controlero
para poder deshacerme de Minas del Colmillo Dorado y Toll Gates, y como sé que
es una carta que me puede dar mucha vida quizá quiera hacer mulligan para
encontrarla. O quizá, siguiendo el ejemplo de la anterior entrada, me interesa
saber qué probabilidad exacta tengo de robar un Festín de las Crías de mano
inicial para poder luego planear una Amenaza del Norte en condiciones.
Como ya hemos dicho, no puedo
utilizar el simulador de distribución hipergeométrica directamente, pero aún
así nos podemos apañar de otra manera. Para calcular la probabilidad de robar
un Festín calcularé primero la probabilidad de NO robar ninguno. Y luego simplemente
Prob(Robar Festín) = 1 – Prob (No robar Festín).
Como se reintroducen cartas
en el mazo calcularé la probabilidad de no robar ningún Festín en las 7 cartas
de la primera mano, y lo multiplicaré por la probabilidad de no robar ningún
festín en las 7 cartas de la segunda mano. Cuando quieres averiguar la
probabilidad de que dos sucesos ocurran al mismo tiempo simplemente se
multiplica la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. En este caso,
Prob(No ver festín haciendo
mulligan) = Prob(No ver festín en 7 cartas) x Prob (No ver festín en 7 cartas)
= Prob (No ver festín en 7 cartas)^2
Resultado simulación 5:
Si vamos al simulador,
Enter Size of Space = 60
Enter number of desirables = 3
Sample Size = 7
Tenemos, por tanto, un
68% de probabilidad de no ver ningún
Festín robando 7 cartas.
Con lo que, Prob(No ver
ningún Festín en mulligan) = 0.6846 x 0.6846 = 0.4687 = 46,87%
La probabilidad de sí ver un
Festín es, por tanto,
Prob(Ver Festín en mulligan)
= 1 – 0.4687 = 0.5313 = 53,13%
Ejemplo de simulación 6:
La situación mejora si en la
segunda mano consideramos que además de robar 7 cartas desplegaremos algunas de
setup y robaremos más cartas para rellenar la mano. En este caso consideraré un
setup medio de mi mazo de 4 cartas, que luego rellenaremos, y que se sumarán a
las 7 cartas robadas en la segunda mano.
Enter Size of Space = 60
Enter number of desirables = 3
Sample Size = 11 (robo de 7
cartas y 4 más de setup)
Resultado simulación 6:
Nos da un 53,84% de no ver
ninguna de las cartas objetivo.
En este caso, por tanto,
Prob(No ver ningún Festín en
mulligan) = 0.6846 x 0.5384 = 0.3686 = 36,86%
y luego,
Prob(Ver Festín en mulligan)
= 1 – 0.3686 = 0.6314 = 63.14%
Es decir, si consideramos las cartas que reemplazamos
en setup y hacemos mulligan para buscarla, tenemos un 63.14% de probabilidad de
encontrar una carta determinada de la cuál llevamos 3 copias en el mazo. Esta probabilidad varía en función del setup medio
de vuestro mazo, que yo he fijado en 4 cartas a título de ejemplo, pero podéis
hacer pruebas para setups medios de 3 o 5 cartas, en función de vuestra lista.
Un 63% no está mal, me
parece, y esto sirve para encontrar tanto el Festín del ejemplo como cualquier
carta de la que llevemos tres copias. Creo que después de saber este dato me lanzaré
más a menudo a por la búsqueda de una carta concreta que me pueda dar un
empujón frente a la casa o estrategia de mi oponente.
Otros posibles datos
interesantes que podríamos estudiar con el simulador podrían ser:
- Probabilidad de
empezar la partida desplegando un lugar productor frente a Greyjoy-Invierno (¿o
dos?).
-
Probabilidad de
robar una carta que nos de ventaja en el control de estaciones (Cuervo
Carroñero, Cuervo Blanco/Negro, Malas Nuevas etc.)
-
Probabilidad de
robar uno de nuestros personajes con rasgo caballero frente a Baratheon con
agenda de Caballeros del Reino.
-
Frente a
maestres, probabilidad de robar Bastardo, Pesadillas, Meera Reed u otra pieza
especialmente útil ante ellos.
8 comentarios:
Muy interesante el artículo Matamagos. Y además de interesante, te felicito por la manera tan amena, directa y fresca que tienes de escribir este tipo de artículos.
Eres un excelente comunicador, y eso es lo que más me gusta de este blog, el tono de buen rollo y sano interés que trasmites a todo lo que haces.
Enhorabuena y, sobre todo, gracias por tu trabajo. Es realmente apreciado!
¡Gracias Álvaro! El próximo dia que nos veamos si quieres nos enrollamos.
Este artículo era especialmente complicado de escribir sin hacerlo soporífero. Aún así creo que es un poco tostón. Pero bueno, si tú te lo has leído al completo espero que alguien más lo haga.
En realidad el tema de la probabilidad de robar una carta es algo que la experiencia ya te da por sí sola, pero me ha sorprendido que la caza de una carta concreta mediante mulligan tenga más de un 60% de posibilidades de éxito.
Pues a mi me ha gustado mucho. Es bastante complicado hacer un articulo ameno de leer sobre un tema de este estilo, y a mi me parece que ha quedado muy bien :).
A mi este tema de las probabilidades me gusto bastante en su dia, cuando le daba mucho al poker y al poker online, aunque en este juego es casi mas importante que las probabilidades de las cartas la posicion que ocupas en la mesa.
En fin, que me ha encantado xD
PD: El tema de las posibilidades altas de robar una carta en concreto en un mulligan se ve bien con la "Indigente del Lecho de Pulgas", que a priori es una carta impensable de llevar en un mazo que no sea de Hermandad, pero que a mi me ha estado funcionando muy bien con Colina, y dandome la vida
Enhorabuena por tu artículo. Me alegro de que haya recibido tan buena crítica porque es cierto que estos temas no son fáciles de tratar sin hacerlos muy complicados/aburridos. Pero tú lo has hecho muy bien.
Kabe
Me gusta porque es de las pocas veces que he leido un texto de probabilidad (y eso que he leido muchos) y no has conseguido que me entre el sueño :)
Shadowblade:
Lo primero, gracías, es de los primeros árticulos que leo y supongo que leeré más, muy interesante.
Segundo, he tratado de usar el simulador pero no me da resultado, quizás por culpa de los bloqueos de mi curro.
Tercero, en la última simúlación, la más de amplia aplicación, encontrar una carta que quieres, te faltaría incluir las cartas que robas en la primera fase
Cuarto, estaría bien hacer un programilla (o buscar) para probabilidades condicionadas, como: "quiero sam y un cuervo" o "un crest war y un precio" etc etc. Yo recuerdo que en el foro de vampiro en que estaba (vtes.net) había uno, no se si seguirá por allí...
Hola shadow. ¡gracias por leer el artículo!
Si una simulación no te converge y no te da resultado, prueba a escribir algo en las casillas de Start y Stop. Sirven para acotar los resultados. Si pones, por ejemplo, Start 0 Stop 1 el simulador te dará la probabilidad de robar 0 cartas y 1 carta de las que buscas, obviando la probabilidad de robar 3, 4, 5 etc. A veces así se resuelve el problema.
Lo de las probabilidades condicionadas que comentas es muy interesante, pero desgraciadamente yo no tengo mucha experiencia en programar. Pero quizá a nivel teórico ya se pueda resolver con este simulador (o a lo mejor no, pero así a bote pronto intuyo que sí se podría, a ver si un dia me pongo.
He añadido las 2 cartas que comentas de robo de la primera ronda, y contando éstas la probabilidad de éxito de cazar la carta que buscamos haciendo mulligan y robando por primera ronda me da del 67.56%. Así que bastante alta, creo yo.
Publicar un comentario